Введение

Компактно-волновое или W-преобразование сигналов (wavelet transform), теория которого оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое преобразование Фурье. Фундаментальный принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. W-представление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.

В архивах Федерального Бюро Расследований США содержится более 30,000,000 отпечатков пальцев. Оцифровка их с разрешением 500 точек на дюйм, 256 оттенков серого цвета, потребует для хранения 200 тера-байт дисковой памяти. ФБР обрабатывает ежедневно до 35,000 запросов с отпечатками. Это лишь одна из современных прикладных областей, в которой сжатие и эффективное распознавание информации для хранения и телекоммуникаций является критически важным. (см. WWW страницу ФБР в Internet URL: http://www.fbi.gov/programs/iafis/iafis.htm)

Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов1 и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. Во многих университетах мира начато преподавание теории W-преобразований. Приложениям компактных волн посвящены специализированные конференции (так, например, под эгидой одного только общества SPIE в 1996 году прошло две конференции по вейвлетам). К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике W-преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик2 (имеются тематические подборки публикаций на русском [Rus00] и английском [Eng00] языках).

Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если "хорошая" аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами.

Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем.

При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.

В истории вейвлетов немало курьезных и противоречивых страниц. Подробнее об этом можно прочитать, например, в авторских эссе И.Добечи (96) и R. Polikar (99). Очень хороший обзор представлен на Интернет-сервере Amara Graps [Amara00]

В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Morlet назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) - компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добечи (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.

Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева ([Berdyshev99]). В Санкт-Петербурге проходит специализированный семинар по вейвлетам (URL: http://www.math.spbu.ru/~dmp/).


Рис.1. Компактные волны, полученные дифференцированием функции Гаусса.

Примеры простейших базисных функций - компактных волн (элементарных локализованных колебаний, посредством которых могут быть представлены произвольные колебания) приведены на Рис. 1. Вейвлет-разложение по ним проводится путем вычисления сверток сигнала f с компактной волной при различных масштабах и сдвигах аргумента. При этом W-представление зависит от двух временных переменных - дрейфовой T и масштабной :

Величина коэффициента показывает, насколько характерный период колебаний (или частота -1) представлен в сигнале в окрестности момента времени T.

Говоря более формально, справедлива следующая

Теорема 1. Пусть и - функции, для Фурье-преобразований которых (отмеченных шляпками) справедливо соотношение

Тогда для всякой функции f из L2(R) определено взаимооднозначное соответствие (изоморфизм) между пространством L2(R) и "полупространством" L2(R   x   R+):

Функция , используемая при синтезе f(t) называется масштабирующей (scaling function), а парная ей функция , при помощи которой выполняется анализ, соответственно, вейвлетом (wavelet) или всплеском [Petukhov99]. Имеется много примеров функций, удовлетворяющих условиям теоремы. В частности:

или

    (*)

Простые вейвлеты могут быть также построены из кусочно постоянных и кусочно линейных функций (для выделения кусочных областей использована единичная функция Хевисайда):

и

Введенное условиями Теоремы 1 преобразование принято называть непрерывным вейвлет-преобразованием. Для выяснения его свойств рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Стационарный сигнал

Исследуемый сигнал является стационарной волной с частотой, не зависящей от времени: f(t) = cos(2t). Его W-преобразование с вейвлетом G2 (*) представлено на Рис. 2.

Данное изображение показывает, что в областях перехода сигнала через экстремальные точки локальный четверть-период3 "сосредоточен" на масштабе ~ 0.25. При этом в областях перехода через нулевые значения функция локально линейна, поэтому значение W близко к нулю. Необходимо отметить, что компактно волновое преобразование несет локальную информацию о колебательных свойствах функции. При этом вследствие принципа неопределенности (см. следующий раздел) частота определяется с точностью, обратно пропорциональной характерному времени наблюдений (равному ширине вейвлета).


Рис.2. W-преобразование (внизу) периодического сигнала (вверху). Горизонтальная ось - абсолютное время, вертикальная ось - локальный период /4. Светлые области отвечают максимумам, темные - минимумам

Фурье-преобразование данного сигнала показало бы исчерпывающую информацию о его колебательных свойствах, локализовав частоту за счет более широкого, чем у вейвлета, времени наблюдений. Как и ожидалось, для сигналов, свойства которых мало меняются со временем, метод Фурье оптимален.

Пример 2: Нестационарный сигнал

Качественно иная картина наблюдается для сигнала f(t) = cos(2t2), который не является глобально периодическим, однако демонстрирует локальные колебательные свойства с нестационарным "периодом" ~ 1/t. Результаты Фурье-анализа данной функции (модули коэффициентов дискретного преобразования Фурье) приведены на Рис. 3. Усредненный по времени спектр сигнала близок к сплошному (частота обрезания определяется длительностью сигнала) и никак не отражает временных изменений в характере колебаний функции.


Рис.3. Модуль дискретного преобразование Фурье функции f(t) = cos(2t2).

Соответствующее W-преобразование приведено на Рис.4. Вдоль временной оси (горизонтальной на рисунке) наблюдается картина учащающихся колебаний. Смещение экстремумов в область меньших периодов (больших частот) подробно описывает характер нестационарности сигнала ~ 1/t, причем сам закон изменения периода может быть количественно выведен интерполяцией экстремумов.


Рис.4. W-преобразование функции f(t) = cos(2t2) с "убывающим" периодом.

Полученная картина вейвлет-преобразования нестационарного сигнала оказывается не только более информативной, чем коэффициенты Фурье, но и служит компактной формой описания сигнала (сжатого до последовательности координат максимумов). Применения W-преобразования для сжатия информации будут более детально рассмотрены ниже.



Главная страница   |   Наверх   |   Содержание   |   Литература

Hosted by uCoz